オイラーの等式のかっこよさは異常 [295723299]
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【オイラーの等式】不動の「世界一美しい式」
3/19(土) 7:04
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現代ビジネス
「数学のお兄さん」として活躍する横山明日希さん。数学×恋愛、数学×お笑い等、数学と異分野を掛けあわせた独自の切り口で、より数学を身近にする授業、講演などで人気です。
そんな横山さんの新著『数式図鑑』は、数学好きには外せない、さまざまな数式の美しさ、すごさ、不思議さをわかりやすく伝えるとっておきの数式集です。本書から、初めて知る数式や、よく知る数式の意外な一面など、読みどころを、ここにご紹介しましょう！
今回は、世界で最も美しいといわれる「オイラーの等式」です。
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オイラーの等式
eⁱπ+1=0
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「もっとも美しい数式」といわれる理由
上の「オイラーの等式」は、世界でももっとも美しい数式といわれることの多い数式です。なぜこの式が美しいといわれるのか、もちろん美しさの理由の本質をすべて明らかにすることは難しいですが、そのいくつかをご紹介します。
まずは、式に並ぶ記号のひとつひとつに注目してみましょう。すると、「e」「i」「π」そして「+」と「1」と「=」と「0」と合計7つの記号が登場しています。これらのすべての記号が数学において非常に重要かつ基本的な概念であり、そのような記号のみで構成される数式だから美しい、というのが理由の第一だと思います。
「1」は自然数のなかでもっとも小さい単位となる数、「0」は何もないことを表す特殊な数、と考えるとこの2つの重要性は自然にわかりますね。また、「+、加法」は演算のなかではもっとも単純な計算ともいえますし、その計算した結果を結ぶのが「=」という記号です。
ここまでは、容易に重要性が理解できると思いますが、さて、では残りの3つの記号はどうでしょうか、簡単に踏み込んでみましょう。
3つの数の組み合わせ
まず「π」は円周率を表し、「3.1415...」と無限に小数が不規則に続く無理数ですが、直線と円という曲線の世界をつなぐ不思議な定数になります。
次に「i」は「虚数単位」と呼ばれる、2回かけると「-1」になるという数で、実数と虚数の世界をつなげるものです。そして最後の「e」はオイラー数、あるいはネイピア数と呼ばれる、値にするとe=2.718...という無理数。これは微分積分、指数関数などに強い関連を持ち、線形と累乗の世界をつなげる重要な定数です。
これら3つの数が組み合わさり、「オイラー数を虚数単位乗し、さらに円周率乗したものに1を足すと0になる」ということを主張しているのがこのオイラーの等式なのです。
しかしこの説明でも「結局どういうこと？」とよくわからない方も多いのではないでしょうか。直感的には、これらの数が組み合わさって整数になる、というのは、 どうも頭の中で想像するには難しいのではないかと思います。この直感的に理解できないけれども奇跡のように成り立っている式であることもこの数式の美しさの理由の1つなのでしょう。
以下ソース
https://news.yahoo.co.jp/articles/df03e47baead2d806004e2234b7a7e41e8c3fe30 カッコいいとかってレベルじゃない
この世に創生主がいる証明と言っても過言じゃない ＜意味はわからなくても何となくカコイイ言葉＞
オイラーの等式
シュレディンガーの猫
ラプラスの悪魔
ロシュの限界
ウラシマ効果
モホロビチッチ不連続面
囚人のジレンマ
ラグランジュの未定乗数法
コリオリの力 貧民の味方、業務スーパー
これほど格好良い言葉ないよな 地学のモホ面、生物の教科書のランゲルハンス島は大人気だったな
村上春樹でランゲルハンス島を知ったなんてのは情弱にも程がある おいらはボイラー
ミウラのボイラー
知ってる人は知っている
知らない人は覚えてね >>3
全く別の事から生まれたそれぞれの定数が
変な係数もつかずに全て収まるからね。
まあ神とかじゃなくて統一理論があるぞって事なんだろう >>16
マイナスが付いてしまうのが本当に惜しい
今からでもπを6.28に修正出来んもんかね？ あれ？俺が聞いた世界で一番美しい式は e=mc2と聞いたが？ i乗の意味がわからん
約2.71×約3.14=-1
ってどういうこと？ 円周率が直径に対するものではなく、半径に対するものにしておけば
もっと美しくなった定期 こさでもきれいな式になるようにオイラーさんがオイラー定数の値後付けで設定したんじゃないの？ オイラーの公式といえば
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８・・・＝マイナス１２分の１
も凄い オイラーの等式tシャツを来たおじさんがつべで大学入試数学の解説してるな より普遍性が高い式があるのに、特別な場合の式のほうが美しい？
浅いなぁ まぁこの等式が、この宇宙が実は作られたものであることを示してることにはまだ誰も気付いてないんだけどな おまえら正直に言って良いんだぜ
恥ずかしながら、俺はライトノベルのアニメ化したやつで知ったわ 俺ってインテリだからリコーダー小便事件を語ると
皆んなポカンとした顔するんだよ >>46
ライデンフロスト効果
シュヴァルツシルト半径
事象の地平面 >>4
シュバルツシルト半径
チャンドラセカール限界 >>16
おまおれ
50年前から思ってる
+１が美しくない >>4
マクスウェルの方程式もね。
電磁気学の基本中の基本 10 × 10 = 100 と比べて 7 × 7 = 49 は半分以下とかなんか少ないだろ！
とか主張してた人がなんか好きだった >>37
｢美しさ｣の意味が理解できないバカがいるのは仕方ないことだよ、無理すんな オイラーの等式のためだけでもπの定義を変えるべき
人類は間違ってしまった 人類の3大汚点
円周率を円周と直径との比にしてしまった
電流をプラスからマイナスに流れることにしてしまった
あとなに？ >>68
電磁気学の単位
最近は統一されつつあるがこれで苦労した人もいるはず >>1
人類がπの値の設定を間違えなければこの式はもっと美しかった。
π = 円周 ÷ 直径 とすべきではなかった。
π = 円周 ÷ 半径 とすべきだった。
そうすればπを使った他の公式ももっと美しく分かりやすい形にできた。
今からでも変更したらいいと思う。 >>4
シュレディンガーの猫とは量子力学を作ったのに意味が分からなすぎてもう知らん辞める！ってキレたシュレディンガーさんの呪いの言葉
なお90年近く経ってようやく実証されそうな模様
(特殊な状態の素粒子雲が同時に二つの軌道を描く実験) >>4
ハーモニックマイナーパーフェクト5thビロウ おいら岬の灯台守りは
おいらはドラマー ヤクザなドラマー より一般に
exp((2n+1)πi)=−1 (n∈Z)
ということだから
log(−1)=(2n+1)πi (n∈Z)
つまり
log(−1)=±πi, ±3πi, ±5πi, ……
ということだ
高校数学では log x の定義域をx>0に制限しそれに真数条件のようなつまらない名前をつけて喜んでるが負数の対数を考え log x を複素数にまで拡張した方が本当は面白い >>81
同意だけど今更円周率の定義は変えられない
πでなく2πと表記してはどうか 矢口真里氏がモー娘。時代 自分の事を「おいら」と言っていた件について↓ 惣菜の定価を a 円とする。「半額セ−ル」だと
- 0.5a 円
だ！これより美しい数式は存在しないのだ！ 中学の数学の証明で脱落した俺には何のことかさっぱりわからない
今でも｢∴｣これ見るとあの頃のこと思い出して泣きたくなる >>102
もし標準軌を採用していたらわざわざミニ新幹線方式にしなくても簡単に新幹線が在来線区間に乗り入れられたのにな。
地方の在来線区間は今ほど衰退が進まなかっただろうし、長崎新幹線で佐賀県が揉めることもなかった。 >>24
所詮2項目以降を落としてる近似式など美しき数式界の面汚しよ…ククク >>68
ホント、将来宇宙人に絶対バカにされる
宇宙人「円周率が3.14だっておｗｗｗｗｗｗ地球人バカすぎワロタｗｗｗ」
宇宙人「地球人電流が＋から−に流れると思ってやんのｗｗｗさすが土人惑星ｗｗｗｗｗｗ」 >>4
チェレンコフ光
哲学的ゾンビ
ヴォイニッチ手稿 何がスゴいか分からんし、このスゴさが分からないのかと上から目線で話して来るやつも嫌い。その人は何がスゴいか分かってなくて、スゴいと言ってる俺カッコいいをやってるだけだから。 小学生の頃、赤塚不二夫の漫画でこの名を知った。
バカボンと思って買ったら数学の本でガッカリした記憶が。 >>20
ほんこれ
誰だよπを直径の3.14倍とか言い出した奴
円を描く時はコンパス使って中心点から等距離の線を引くだろう、直径なんて出てこない、半径が主役なんだよ >>117
お前がネットを使えるのもこの数式のおかげとだけ言っておく >>69
個人が普段いくスーパーのつもりで行くと全く安くない
コストコとカルディを足して7で割ったような感じ >>3
設計者がいる証明だと思ってるわ
この宇宙は自然に形成されたものではない >>120
どうやって円の中心をだすんだよ
バカYouTuberの請け売りめ あ り え な い それは
バストダンジョンでリリカのおっπ値が〜 テーラー展開がでできた時点でオイラーからすりゃ当たり前のことを計算したにすぎない オイラーからすれば「この程度の計算はみんなやってるよな？」という気分だったにちがいない ゴットフリート・ライプニッツ
レオンハルト・オイラー
名前が既にファイナルファンタジー >>１（のソースより）
＞「π」は円周率を表し、「3.1415...」と無限に小数が不規則に続く無理数です
無理数とは整数比では表せない数、本来は「無比数」と訳すべきだったのですが。。。
＞「e」はオイラー数、あるいはネイピア数と呼ばれる、値にするとe=2.718...という無理数。これは微分積分、指数関数などに強い関連を持ち、線形と累乗の世界をつなげる重要な定数です。
不思議なことに年利100%とした複利計算で計算期間を無限小にした場合の1年間の利回りです
＞eⁱˣの級数展開を整理すると、そこに綺麗に三角関数の級数展開が現れるのです。
指数関数と三角関数が複素数の世界ではおなじものということです >>143
波の式が関係してるんでそうとは言えんな >>1
>オイラー数
ネイピア数の方が馴染みがあって違和感を覚える ｖ−ｅ＋ｆ＝２
同じオイラーでもこっちのほうが遥かに美しいww 等式なんて面白くもなんともない。1+1＝2なんてのを見ていて楽しいか？
オイラーの方程式 e^iθ＝cosθ+iｓｉｎθ の方がずっと役に立つだろ
>>1の等式なんて、この方程式のθ＝πの場合の特殊解に過ぎないし この証明の概要を3行くらいでお願い！
1．左辺を無限級数にする
2．
3．
こんな感じで。。 >>160
(1) e^iθ＝cosθ+iｓｉｎθが成立することを承認する。その証明は、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
等を参照すること
(2) θ＝π を代入する
(3) e^iπ＝-1 が導かれる（cosπ＝-1、iｓｉｎπ＝0だから） ギターのフレットが対数で刻まれているから
12フレットが1/27フレットが1/3、5フレットが1/4になる 美しすぎる式は定義を言い換えてるだけなんじゃないの？ >>15
負数も出てくるもんね
超越数×2、虚数、負数 オイラーの公式の実数版はcoshとかsinhというのがでてくる
これをコッシュとかシンチとか言っておけば一目置かれる >>15
>>16
乗法単位元たる1、加法単位元たる0を使うからこそ深遠さが増すんじゃないか
すべてが0に抱きとめられる、という小川洋子の表現に感心したわ >>4
パヴロフの犬
バーローレンズ
チェレンコフ放射光
バルトリン氏線液 宇宙人がこの式を見たらπの値を設定しそこねてるのを笑うと思う。 >>4
マクローリン展開
ボルツマン級数
この辺りも。 数学を面白く思える人になってみたかったなあ
楽しんでいる人が羨ましい この式って超越数（π、e）や虚数（i）を組み合わせると実数が出てくるという点で、美しいというより不思議な公式だと思う。
オイラーはその逆の公式も導き出していて、πの展開形式では有理数の組み合わせを無限に続けるとπが出てくる。
美しいという点ではサイクリックな公式の方が美しいと思う。 確かに美しいのは認めるけど、これはあくまでガウス平面という数学上の決め事の上に成り立つ等式であって何かの物理的真理を示してるわけではないと思ってる。 マヨラー＝マヨネーズを飲む
オイラー＝オイルを飲む わい電気電子なので公式の方はe^jθ=cosθ+jsinθのほうがしっくりくるんや 緑色の先っちょがタービン油で青の先っちょがスピンドル油だっけ🤔 >>25
>i乗の意味がわからん
e=1+1+1/2+1/3!+1/4!+1/5!+…
ここから指数関数exp(x)=e^xが定義されるけどこれが理系の学問の根本を支えるぐらい重要な関数
そして
exp(x)=e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!+…
とテイラー級数で表せることが証明できる
同様に
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-…
cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-…
であることも証明できる
すると
exp(ix)=e^(ix)=1+(ix)+(ix)^2/2+(ix)^3/3!+(ix)^4/4!+(ix)^4/5!+…
はi^2=-1を使うことで
exp(ix)=e^(ix)=cos(x)+isin(x)
が成立することになる
x=πを代入すると
exp(iπ)=e^(iπ)=cos(π)+isin(π)=-1
となるというわけ
i乗が定義されるのではなくて指数関数を複素化したらこうなるというだけ
というかこの式から逆にi乗が定義されると考えよ eの性質は分かった
なぜこんな数が考案されたのかその経緯が知りたい >>193
f'(x)=f(x)を満たす関数はe^xの定数倍しかない
f'(x)はf(x)の増加率を意味しf(x)の増加率がf(x)の値に比例する状況が自然や人間社会には多く見られるのでeが必要になる >>180
今は社会人向けの数学の学び直しの参考書たくさんあるし勉強し直してみては？
学生の頃分からなくてもいまやり直してみると意外と分かったりするかも logは概念として必要だろ
10を2の03乗と考えれば大体の桁数が分かる
3や5まで大体分かれば数値の計算もスムーズにいく >>194
なるほど
そういう状況ってどんなんがあるんかね
参考書籍だけでも教えてもらえるとありがたい >>188
>電気電子なので
なんで電流をiにしたのかね
currentだからcで良いのに コンデンサでCつかってコイルでLつかうから電流でcはちょっとね．
電流がiだから虚数はjで慣れてる． e^ix = cos x + ｉ sin x って無理やりこじつけたのかと思ったら
マクローリン展開から導き出されるんだな 円周率と虚数は理解できるけど、自然対数の底の値が持つ意味がイマイチよくわからない🤔 >>186
コムラー＝小室ファン
コムラ返り=小室ファンに戻る >>15
絶対、先にこれが出来てから、+1=0に変えてるよね。
数式整理するのに、数字をまとめないとかあり得ない。 >>216
πの定義が”円周/半径≒6.28”だったら
「eⁱπ=1」という綺麗な式になるらしいよ 現在の数学の体系を、（結果として）そうなるように定義しただけのことだろ
特に意味はないんじゃね？ e で思い出した
電気・電子工学の分野では時定数（１/eになるまでの時間）を使うのに
何で放射性物質の崩壊には時定数を使わずに半減期を使うのですか？
おそらく減衰と加圧の両方が同じデバイスで起きる分には時定数
放射性物質の自然崩壊や加齢による人口減と言った一方的に減衰・減量する現象には
半減期と使い分けていると思われるが。。 >>224
自然対数じゃなく常用対数を使うのと同じようなことでしょ
社会的に意味のあることを報じるのに
1/eとか何？って言われかねないから1/2で
1/10でなくて1/2なのも
倍々って単語はあるけど十倍十倍とか言わないしね
倍はあるいは半分は分かりやすってことでしょ >>225
＞1/eとか何？
約37%といっても同じですが。。。 >>226
その数字パチンコとかで同じだけ回して当たる確率と同じなんだよな
大当たり確率1/300なら300回回して当たる確率が1/eの約37%
何でそうなるかは忘れたけど高校数学で出せた気がする >>226
>約37%といっても同じですが。。。
いやそりゃ別にいいけど約37％って何？ｗ >>228
なんだ
1/e = 0.36787944117144232159552377016146
も計算できないのか。。。 >>183
確かにガウス平面は便宜上導入したに過ぎないし別の表現もあるわな お前ら頭いいんだな
こんなとこでなにしてんの
世界を救えよ >>232
この等式自体はガウス平面という表現とは関係ないよ
あくまで関数を解析接続したってだけ
ガウス平面を想定することで理解は深まるけれど
ガウス平面がなければ成立しないということもない >>1
オイラーといえば地球空洞説って印象
それはそうと確かにめっちゃ綺麗な数式だね >>4
イベントホラれズンズン
ホモロリビッチ不倫NTR
アークサイボボイェー >>4
「援助交際」が一番わかりにくいな
お金が足りない女子中高生を援助するのか？
性欲に飢えた男性を援助するのか？ 数学好きって数式見て変な声色で美しい美しいばっかり言ってるよな
家帰ったら数式オナニーでもしてんのか >>227
「当たらない」確率な。
ちなみにx倍ハマリの確率は1/e^xになる ネイピア数と円周率と虚数単位で1を作れるのだからすごいことだよ なんか騙されてる感
まず好きな数字を思い浮かべて２をかけて好きな数字を２回引くと０になるみたいな ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
