コートかけに帽子かけもない店では帽子はかぶったままでいい
今の時代のキャップなどはファッションであり時代と共に変わる物が多いから気にする必要はない

ただしフォーマルな場に入れば帽子はダメだね。食堂やらファミリーレストランなら気にしなくていい