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仲秋は、旧暦で秋にあたる期間の真ん中の月、旧暦の８月を表す漢字です。
旧暦では、７月、８月、９月が秋の期間で、それぞれ孟（もう）秋、仲秋、季秋と呼ばれています。

旧暦8月に見える月はすべて「仲秋の月」になります。

中秋は、秋の期間の真ん中の日、旧暦８月15日を指す漢字になります。

お月見をするのは、旧暦8月15日ですから「ちゅうしゅうの名月」は、「中秋の名月」と書くのが正解です。
「仲秋の月」というくくりの中に「中秋の名月」があるというわけです。